Dalam pemecahan masalah manajemen secara kuantitatif, Linear Programming (LP) dan Goal Programming (GP) merupakan alat analisis yang paling banyak digunakan. Linier programming digunakan manajemen untuk memecahkan masalah dengan tujuan tunggal, sedangkan goal programming digunakan apabila manajemen menghendaki berbagai tujuan untuk mencapai beberapa target atau sasaran.
Tiga unsur utama LP dan GP adalah;
1. Variabel keputusan
Merupakan variabel yang menentukan nilai
tujuan yang ingin dicapai. Variabel keputusan harus ditentukan terlebih
dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala
2. Fungsi tujuan
Fungsi matematik model dalam menyelesaikan masalah.
3. Fungsi kendala
Fungsi matematik yang menyajikan batasan sumberdaya yang tersedia untuk digunakan.
Asumsi-asumsi yang berlaku untuk LP dan GP adalah sebagai berikut:
a) Proporsionalitas, berarti bahwa perubahan (naik/turun) penggunaan sumber dan fasilitas yang tersedia berubah sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
b) Aktivitas, berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi.
c) Divisibillitas, berarti bahwa output dari suatu kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, demikian pula dengan nilai tujuan (Z) yang dihasilkan.
d) Deterministik, asumsi yang menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model GP dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang tepat.
Model Transportasi menggunakan Linear Programming (LP) yang telah disusun dapat diselesaikan dengan software LINDO (linear interactive discrete optimizer). Dalam hal ini Fungsi Tujuan adalah minimisasi biaya transportasi bahan baku.
Minimumkan Tujuan
Z = c1X1 + c2X2 + …… + cnXn
Fungsi Kendala:
aijX1 + aijX2 + ….. + a1nXn > = b1
X1, X2, …… Xn > = 0
dimana:
Fungsi matematik yang menyajikan batasan sumberdaya yang tersedia untuk digunakan.
Asumsi-asumsi yang berlaku untuk LP dan GP adalah sebagai berikut:
a) Proporsionalitas, berarti bahwa perubahan (naik/turun) penggunaan sumber dan fasilitas yang tersedia berubah sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
b) Aktivitas, berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi.
c) Divisibillitas, berarti bahwa output dari suatu kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, demikian pula dengan nilai tujuan (Z) yang dihasilkan.
d) Deterministik, asumsi yang menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model GP dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang tepat.
Model Transportasi menggunakan Linear Programming (LP) yang telah disusun dapat diselesaikan dengan software LINDO (linear interactive discrete optimizer). Dalam hal ini Fungsi Tujuan adalah minimisasi biaya transportasi bahan baku.
Minimumkan Tujuan
Z = c1X1 + c2X2 + …… + cnXn
Fungsi Kendala:
aijX1 + aijX2 + ….. + a1nXn > = b1
X1, X2, …… Xn > = 0
dimana:
Z = nilai fungsi tujuan.
ci = parameter-parameter nilai tujuan
ci = parameter-parameter nilai tujuan
Xi = variabel keputusan
aij = parameter-parameter kendala (koefisien)
bi = parameter-parameter kendala (konstanta)aij = parameter-parameter kendala (koefisien)
Contoh Model Pengaplikasian nya:
Linear programming adalah
bidang ilmu yang digunakan dalam optimisasi karena beberapa alasan.
Pada pembahasan sebelumnya dalam blog ini, anda telah mengetahui
mengenai konsep metode transportasi yang melibatkan linear programming dan goal programming, untuk lebih jelasnya mengenai pembahasan sebelumnya bisa anda lihat disini. Adapun pembahasan kali ini akan dititik-beratkan pada contoh aplikasi linear programming pada manajemen maupun dalam optimisasi usaha.
Banyak masalah-masalah praktis dalam riset operasi dapat dinyatakan sebagai masalah pemrograman linear. Beberapa kasus khusus linear programming,
seperti masalah aliran jaringan dan aliran multi-komoditas yang
dianggap cukup penting untuk diteliti dengan suatu algoritma khusus
untuk meraih solusi. Sejumlah algoritma untuk masalah optimisasi lain
dioperasikan dengan memecahkan masalah LP sebagai sub-masalah. Secara
historis, ide-ide dari pemrograman linear telah menginspirasi banyak
konsep pusat teori optimisasi, seperti dualitas, dekomposisi, dan
pentingnya kecembungan dan generalisasi. Demikian pula, linear programming
banyak digunakan dalam ekonomi mikro dan manajemen perusahaan, seperti
perencanaan, produksi, pengangkutan, teknologi dan isu-isu lainnya.
Walaupun isu-isu manajemen modern yang selalu berubah, sebagian besar
perusahaan ingin memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya dengan
sumber daya yang terbatas. Oleh karena itu, banyak hal dapat
dikategorikan menjadi masalah pemrograman linear.
Ilustrasi sederhana:
Misalkan seorang petani memiliki sebidang tanah pertanian, misalnya seluas 5 hektar, yang akan ditanam dengan gandum atau kedelai atau kombinasi dari keduanya. Petani hanya memiliki pupuk NPK (P) yang terbatas dan hanya sedikit insektisida (I) yang digunakan, maka masing-masing yang dibutuhkan dalam jumlah yang berbeda per satuan luas untuk gandum adalah (P1, I1) dan kedelai adalah (P2, I2). Misalkan harga jual gandum adalah Rp.5.000/kg, dan harga kedelai adalah Rp.7.000/kg. Jika ladang yang ditanami gandum dan kedelai kita nyatakan dengan X1 dan X2
berturut-turut, maka jumlah yang optimal untuk ditanami gandum dengan
kedelai dapat dinyatakan sebagai masalah pemrograman linear (LP) sebagai
berikut:
Diketahui:
Luas lahan : 5 Ha
Jumlah pupuk (terbatas) : P
Jumlah insektisida (terbatas) : I
Harga Jual gandum : Rp. 5.000/kg
Harga Jual Kedelai : Rp. 7.000/kg
Ladang tanam gandum : X1
Ladang tanam kedelai : X2
Maka dengan demikian, perumusan algoritmanya menjadi:
5000(X1) + 7000(X2) (memaksimalkan keuntungan, keuntungan merupakan fungsi sasaran)
X1 + X2 < 5 Ha (keterbatasan lahan)
P1X1 + P2X2 < P (keterbatasan pupuk terhadap lahan)
I1X1 + I2X2 < I (keterbatasan insektisida terhadap lahan)
X1 > 0, X2 > 0 (area yang tidak dapat ditanami)
Maka bentuk matriksnya dapat disusun sebagai berikut:
Memaksimalkan keuntungan >> Subjek untuk
Ilustrasi dalam Manajemen:
Misalkan
seorang manajer produksi bertanggung jawab untuk penjadwalan bulanan
produksi suatu produk tertentu untuk perencanaan selama dua belas bulan.
Untuk tujuan perencanaan, manajer diberi informasi berikut:
1.
Total permintaan untuk produk dalam bulan j adalah dj, untuk j = 1, 2,.
. ., 12. Ini dapat berupa nilai-nilai yang ditargetkan atau didasarkan
pada perkiraan.
2.
Biaya memproduksi tiap unit produk dalam bulan j adalah cj (dolar),
untuk j = 1, 2,. . ., 12. Tidak ada biaya setup / biaya tetap untuk
produksi.
3. Biaya persediaan per unit untuk bulan j adalah hj (dolar), untuk j = 1, 2,. . ., 12. Ini dikeluarkan pada setiap akhir bulan.
4. Kapasitas produksi untuk bulan j adalah mj, untuk j = 1, 2,. . ., 12.
Tugas
manajer adalah untuk menghasilkan jadwal produksi yang meminimalkan
total produksi dan biaya persediaan selama 12 bulan perencanaan
produksi.
Untuk memfasilitasi perumusan pemrograman linear (LP), manajer memutuskan untuk membuat penyederhanaan asumsi sebagai berikut:
1. Tidak ada persediaan pada awal bulan pertama.
2.
Unit produksi dijadwalkan dalam bulan j, dan segera dipersiapkan untuk
pengiriman pada awal bulan itu. Ini berarti berlaku bahwa tingkat
produksi terbatas.
3. Kekurangan produk tidak dimungkinkan terjadi pada akhir setiap bulan.
Untuk
memahami hal-hal tersebut secara lebih baik, mari kita perhatikan bulan
pertama. Misalkan, untuk bulan itu, yang direncanakan sama dengan tingkat produksi 100 unit dan permintaan, d1, sama dengan 60 unit. Kemudian, sejak awal persediaan adalah 0 (Asumsi No. 1), tingkat persediaan akhir untuk bulan pertama akan menjadi 0 + 100 – 60 = 40 unit. Perhatikan bahwa semua dari 100 unit produk akan segera tersedia untuk pengiriman (Asumsi No. 2); dan terhadap permintaan d1 = 60, kita harus menghasilkan tidak kurang dari 60 unit pada bulan pertama, untuk menghindari kekurangan (Asumsi No. 3). Misalkan bahwa biaya produksi pada bulan 1 (c1) = 15 dan Biaya persediaan (h1) = 3. Kemudian, total biaya untuk bulan pertama dapat dihitung sebagai:
15 × 100 + 3 × 40 = 1.380 dolar.
Pada awal bulan kedua, akan ada 40 unit produk dalam persediaan (karena permintaan pada bulan pertama adalah 60, sedangkan yang diproduksi adalah 100),
dan yang sesuai persediaan akhir dapat dihitung sama, berdasarkan
inventaris awal, tingkat produksi yang telah dijadwalkan, dan total
permintaan untuk bulan itu. Skema yang sama kemudian diulang sampai
akhir seluruh perencanaan selama 12 bulan.
Setelah dihasilkan total biaya hingga bulan ke-12, maka kita dapat menentukan formulasi linear programming untuk masalah ini:
1. Variabel keputusan:
Manajer
bertugas untuk menetapkan tingkat produksi untuk setiap bulan. Oleh
karena itu, telah disusun 12 variabel keputusan (berdasarkan jangka
waktu produksi selama 12 bulan):
Xj = tingkat produksi pada bulan j, j = 1, 2,. . ., 12.
2. Fungsi Sasaran
Mari kita lihat kembali pada bulan pertama. Dari pembahasan di atas, kita mendapatkan:
Biaya produksi adalah sama dengan biaya produksi dikali dengan tingkat produksi atau c1x1.
Biaya persediaan adalah sama dengan h1 (x1 – d1), dengan asumsi bahwa tingkat persediaan akhir (x1 – d1) masih ada, atau tidak negatif.
Oleh karena itu, total biaya untuk bulan pertama sama dengan c1x1 + h1 (x1 – d1)
Untuk Bulan kedua dapat kita nyatakan sebagai berikut:
Biaya produksi adalah sama dengan c2x2.
Biaya persediaan akhir sama dengan h2 (x1 – x2 – d1 + d2), dengan asumsi bahwa tingkat persediaan akhir, x1 – d1 + x2 – d2, adalah masih ada. Berikut ini dari fakta bahwa tingkat persediaan awal bulan ini adalah x1 – d1, tingkat produksi untuk bulan ini adalah x2, dan permintaan untuk bulan ini adalah d2.
Oleh karena itu, total biaya untuk bulan kedua sama dengan c2x2 + h2 (x1 – d1 + x2 – d2).
Maka Total biaya produksi untuk seluruh perencanaan selama 12 bulan adalah:
Karena
tujuan kita adalah untuk meminimalkan total biaya produksi dan biaya
persediaan, maka fungsi sasaran dapat dinyatakan sebagai:
3. Fungsi Kendala
Karena kapasitas produksi untuk bulan mj adalah j, maka kita memerlukan:
Tingkat produksi untuk bulan j < kapasitas produksi untuk bulan j (xj < mj)
untuk j = 1, 2,. . ., 12; dan karena kekurangan tidak diperbolehkan (Asumsi No. 3), kita memerlukan:
Tingkat produksi untuk awal bulan k – total permintaan awal bulan k > 0, atau dengan notasi:
untuk
j = 1, 2,. . ., 12. Telah menghasilkan sebanya 24 fungsi kendala. Tentu
saja, karenanya tingkat produksi xj tidak boleh negatif.
Maka dengan demikian dapat disimpulkan bahwa fungsi Linear Programming untuk manajemen selama 12 bulan adalah:
Variabel Keputusan + Fungsi Sasaran * Fungsi Kendala
Atau dengan formulasi:
subjek untuk:
xj < mj, untuk j = 1,2,3,…..12.
, untuk j = 1,2,3,…..12.xj > 0, untuk j = 1,2,3,….12.
Dengan
demikian telah kita dapatkan fungsi linear programming dengan 12
variabel keputusan, 24 fungsi kendala, dan 12 fungsi kendala
non-negatif. Dalam pelaksanaannya, kita perlu mengganti cj, hj, dj, dan
mj dengan nilai-nilai numerik.
Pada
pembahasan berikutnya, akan dibahas pengaplikasian linear programming
pada kasus investasi dengan bantuan perangkat lunak LINDO.
dikutip dari: http://statistik4life.blogspot.com/2009/11/teori-metode-transportasi.html
MENURUT SAYA: Metode transportasi merupakan
suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang
menyediakan produk yang sama, ketempat-tempat yang membutuhkan secara
optimal.selain itu metode trasportasi dapat juga digunakan untuk memecahkan
masalah. Diantaranya adalah pembelanjaan modal, pengiklanan, alokasi dana untuk
investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta
scheduling produksi. Jadi sebelum melakukan tindakan agar terbantu memecahkan
masalahtidak ada salahnya mengikuti petunjuk metode transportasi agar
masalahnya terselesaikan dengan baik.